Алгоритмы, заложенные ПриРодой (Эволюцией, Творцом, Создателем, Богом…) в вещественные тела человеческих существ заточены исключительно на достижение максимального уровня выживаемости этих тел в условиях постоянных изменений их среды обитания, а также на обеспечение такой длительности их жизненного цикла, которой будет достаточно для их успешного размножения и поддержания заданной численности популяции вещественных тел «современного человечества». И не более того. Результаты исследований, в которых я пришел к такому выводу детально описаны мною в Томе №33 «Новая теория космических эр» серии «Новая космическая философия».

Эволюция же «разумности» человеческих существ связана как с эволюцией наших вещественных тел, так и с эволюцией «наших» «Я».

Только благодаря вещественным телам и воплотившимся в них «Я» становится возможным познание «нашего» Мира на основе ощущений. ПЕРЦЕПЦИЯ - (от лат. perceptio) - простейший вид познавательного процесса, в течение которого происходит «ощущение» Мира (в наиболее широком смысле). К действиям перцепции обычно относят процессы обнаружения и различения , протекающие в зонах рецепторов тела (плоти). Теоретически, можно предположить, что перцепция - прерогатива любых объектов, имеющих тело (плоть). Более детально данный процесс исследован мною и описан в статье « .

Предлагаю моим читателям посмотреть два видео с выступлениями Дональда Хоффмана. Дональд Хоффман (Donald David «Don» Hoffman), родился 29 декабря 1955 г. , профессор когнитивистики в Калифорнийском университете в Ирвайне, последние тридцать лет посвятил исследовательской работе над восприятием, мозгом, искусственным интеллектом и эволюционной теорией игр, и его вердикт неутешителен: воспринимаемый нами мир не имеет ничего общего с «истинной реальностью». Более того, он утверждает, что проявление иллюзий в нашей голове - это свойство, заложенное эволюцией и повышающее наши шансы на выживание.

«Видим ли мы реальность такой, какова она есть на самом деле?

Я открываю глаза и вижу то, что могу описать как красный помидор, расположенный в метре от меня. В результате я прихожу к мнению, что это и есть реальность. Затем я закрываю глаза и вижу только серое поле. Но продолжает ли этот красный помидор существовать реальности? Да, я так считаю. Но могу я ошибаться? Может, я неправильно толкую природу моего восприятия? Такое с нами уже случалось. Мы считали, что Земля - плоская, потому что она выглядела плоской. Пифагор доказал, что мы ошибались. Затем мы думали, что Земля - центр Вселенной, потому что она выглядела так. Коперник и Галилей доказали, что мы ошибались. […]

Нейробиологи утверждают, что около трети коры головного мозга участвует в процессе зрения. Когда вы просто открываете глаза и окидываете взглядом комнату, миллиарды нейронов и триллионы синапсов включаются в работу. Это странно, потому что мы обычно представляем себе зрение как работу фотоаппарата: мы просто получаем картинку фактической реальности, реальности, какова она есть. Частично это так: в глазу есть линза, которая фокусирует изображение на заднюю стенку глаза, где расположены 130 миллионов фоторецепторов. Так что глаз - это 130-мегапиксельная камера. Но это не объясняет, зачем тогда нужны миллиарды нейронов и триллионы синапсов, участвующих в этом процессе. Чем эти нейроны заняты? По словам нейробиологов, они заняты тем, что в реальном времени создают все формы, объекты, цвета, движения, которые мы видим. Мы не строим целый мир за раз - только то, что нам нужно в данный момент. *Вычислительная мощность, необходимая для такого построения огромна, но сам процесс происходит так быстро, что мы ошибочно полагаем, что никакого построения не происходит - мы всего лишь делаем быстрый снимок мира, как он есть.*

В этом примере вы видите несколько розовых кружков с вырезанными фрагментами. Но если немного их повернуть, вы увидите куб.

Экран, конечно, плоский. Но мы видим трехмерный куб - мы его достраиваем.

Но нейробиологи утверждают, что мы реконструируем реальность. С их точки зрения, когда я открыл глаза и описал то, что увидел - красный помидор, то, что я видел, на самом деле - это точная реконструкция свойств настоящего красного помидора, который бы существовал, если бы я на него не смотрел. Почему они считают, что мы не просто создаем, а воссоздаем (реконструируем) реальность?

Стандартное объяснение - эволюция. Это классический аргумент, который заключается в том, что наши предки воспринимали реальность объективнее других и потому имели больше шансов передать свои гены, в которых закодирована способность к такому восприятию. И несколько тысяч поколений спустя мы можем быть абсолютно уверены в том, что являясь потомками тех, кто был способен к объективному восприятию, умеем так же смотреть на мир. В учебниках пишут: «С точки зрения эволюции… зрение полезно именно потому, что оно так точно». Таким образом, точное восприятие - лучшее восприятие, оно дает преимущество в борьбе за выживание. Так ли это? Рассмотрим такой пример. Австралийский жук-древоточец необыкновенной окраски (Australian jewel beetle): шероховатый, блестящий и коричневый. Самки летать не умеют, им и не надо. Летают самцы - в поисках самки. Когда самец находит самку, он к ней спускается и спаривается с ней. В Австралии есть еще один вид: Homo Sapiens. У самцов этого вида есть большой мозг, который он использует для охоты на пиво. А когда он его находит и выпивает, то иногда бросает пустую бутылку, куда попало. Бутылки эти шероховатые, блестящие и коричневые. Самцы летают над этими бутылками в попытке спариться.

Они теряют интерес к реальным самкам - классический случай, когда мужчина променял женщину на бутылку. Благодаря спариванию с бутылкой этот вид жуков почти вымер. В Австралии пришлось поменять дизайн бутылок, чтобы спасти жуков. Самцы успешно находили самок тысячи лет. Казалось бы, они видят реальность такой, какая она есть. Но, по всей видимости, это не так. Эволюция дала им подсказку: самка - это нечто шероховатое, блестящее, коричневое. И чем она больше, тем лучше. Даже кружась над бутылкой, самцы не догадывались, что совершают ошибку. Вы можете сказать: ну, жуки понятно, они примитивны, куда им до млекопитающих.

Встает важный технический вопрос: дает ли нам естественный отбор преимущество видеть реальность таковой, какая она есть на самом деле? К счастью, нам не нужно гадать. Эволюция - математически точная теория. Мы можем использовать это уравнение, чтобы проверить.

Мы можем заставить различные организмы состязаться в искусственно созданной среде, чтобы проверить, какие из них выживут и будут процветать. Ключевым понятием в этих уравнениях является приспособленность (fitness).

Возьмем, к примеру, этот кусок мяса. Какова его роль в приспособленности животного?

Для голодного льва - большая. Для сытого льва, который хочет спариться, - никакой. Для зайца - в любом состоянии - никакой. Итак, приспособляемость зависит от фактической реальности. Но также и от существа, его состояния и его действий. Приспособленность - не то же самое, что фактическая реальность.

*Истина и выгодность/полезность - разные понятия, объединение их является фундаментальной ошибкой. Например, пребывание под водой на глубине 1500 метров обладает высокой выгодностью для рыбы-удильщика, но смертельно для человека.*

Именно приспособленность, а не фактическая реальность, представляет собой центральную часть уравнения. В нашей лаборатории мы провели сотни тысяч эволюционных тестов, в которых мы имитировали множества разных произвольных миров и организмов, которые конкурируют за ресурсы в этих мирах. Некоторые организмы видели всю реальность, другие - ее часть, а третьи - не видели никакой реальности - только приспособленность. Практически во всех случаях те, кто не видели никакой реальности, а были настроены исключительно на приспособленность, уничтожили всех остальных.

*Представьте себе организм, который способен определять оптимальное для выживания количество ресурса и видит его, скажем в зеленом цвете, а слишком малые и слишком большие количества - в красном. В этом случае органы чувств настроены на приспособленность, игнорируя истину. Они не помогут отличить большое от малого, показывая только красный цвет, даже если его нет в реальности.*

В итоге: эволюция не жалует видение фактической реальности.

*Эволюция продолжает над нами работать. Но не так, как мы себе это представляем. Наш мозг уменьшается. 20 тысяч лет назад он достиг максимального размера, и с тех пор постепенно становится меньше. Мы уже потеряли около 10% объема нашего мозга - это размер теннисного мячика. Так что эволюции плевать на наш интеллект, размер мозга и истину. Ей важно только одно: чтобы вы жили достаточно долго, чтобы успеть оставить потомство.*

Как может быть, что не видеть фактическую реальность дает нам преимущество для выживания? Это же противоречит здравому смыслу. Но вспомните про жуков. Они выживали на протяжении тысяч, возможно, миллионов лет, используя простые уловки. Уравнение эволюции говорит нам о том, что все живые существа, включая нас, в том же положении, что и эти жуки. Мы не видим фактической реальности. Мы используем подсказки и уловки, чтобы выжить. Но как это «не-видение» фактической реальности может быть нам полезно?

Метафора для сравнения: рабочий стол вашего компьютера

К счастью, у нас есть подходящая метафора для сравнения: рабочий стол вашего компьютера. Представьте папку на вашем рабочем столе. Она голубая, прямоугольная, находятся в нижнем правом углу. Значит ли это, что сам файл, который находится внутри, голубой, прямоугольный и находятся в правом нижнем углу? Конечно, нет. Папка здесь не для того, чтобы показать фактическую реальность вашего компьютера. Она для того, чтобы ее скрыть. Мы не хотим ничего знать о диодах, резисторах и мегабайтах программного обеспечения. Если бы вам пришлось с этим разбираться, вы бы никогда не смогли написать свой текстовый файл или отредактировать фото. Идея в том, что эволюция дала нам интерфейс, который прячет реальность и помогает нам приспосабливаться. Пространство и время, воспринимаемые вами сейчас, - это ваш рабочий стол. Физические объекты - всего лишь иконки на этом рабочем столе.

Возражение 1. Хоффман, если этот поезд, который мчится со скоростью 300 км/ч, всего лишь иконка на «рабочем столе», почему бы тебе не шагнуть под него? И после того, как ты и твоя теория под ним погибнут, мы поймём, что поезд - нечто большее, чем просто иконка.

Я бы не стал шагать под этот поезд по той же самой причине, по которой не стал бы небрежно перемещать иконку в мусорную корзину. Не потому, что я принимаю иконку за чистую монету (файл не буквально голубого цвета и прямоугольный), а потому, что принимаю ее всерьез: я могу потерять недели работы. Аналогичным образом, эволюция выработала для нас условные перцептивные обозначения, которые помогают нам выжить. К ним нужно относиться всерьез. Видите змею - не трогайте её, видите обрыв - не прыгайте с него. Они созданы так, чтобы обеспечить нашу безопасность, и к ним нужно относиться серьезно. Но не буквально. Это логическая ошибка.

*Мы развили органы чувств, которые позволили нам выжить, поэтому им следует доверять. Если я увижу что-то, напоминающее змею, то вряд ли буду брать это в руки. Если я увижу поезд, то не пойду ему навстречу. Эволюция выработала условные обозначения, благодаря которым я все еще жив, и я собираюсь воспринимать их всерьез и руководствоваться ими. Однако с точки зрения логики неверно было бы считать, что воспринимать всерьез - это то же самое, что воспринимать буквально.*

*Поезда и змеи как физические объекты не имеют объективных, независимых от наблюдателя свойств. Змея, которую я вижу, это представление, созданное моей системой восприятия, чтобы сообщить мне, как последствия моих поступков повлияют на приспосабливаемость. Эволюция выработала неоптимальные, но приемлемые решения. Представление в виде змеи - это приемлемое решение вопроса о том, как мне действовать в данной ситуации. Мои поезда и змеи - это мои мысленные представления, ваши поезда и змеи - ваши мысленные представления.*

Возражение 2 . В этом нет ничего нового. Физики давно доказали, что металл, из которого сделан этот поезд, выглядит твердым, но на самом деле это преимущественно пустое пространство с микроскопическими частицами, которые быстро перемещаются. Ничего нового.

Не совсем. Это как сказать: я знаю, что эта голубая иконка на рабочем столе не является реальностью компьютера. Но если я возьму свое увеличительное стекло и посмотрю очень внимательно, то увижу маленькие пиксели. И скажу, что это - реальность компьютера. Вот и нет - вы все еще на рабочем столе, в этом и суть. Эти микроскопические частицы существуют в пространстве и времени, все еще - часть пользовательского интерфейса. Я же предлагаю нечто более радикальное, чем физики.

Возражение 3. Мы все видим поезд, следовательно, никто из нас его не конструирует (не создаёт). Но вспомните пример с кубом: мы все видим куб. Но экран-то плоский, и куб, который вы видите, это куб, который вы создаёте (конструируете). Мы все видим куб, потому что каждый из нас конструирует этот куб. То же с поездом: мы все видим поезд, потому что каждый из нас видит поезд, который он создаёт. То же касается всех физических объектов. * Мы - особи одного вида с одинаковым интерфейсом.

Мы склонны думать, что восприятие - это окно в фактическую реальность. Теория эволюции настаивает, что это - неверное толкование нашего восприятия. Реальность больше похожа на рабочий стол в 3D, созданный для того, чтобы спрятать сложность реального мира и направить адаптивное поведение. Пространство, каким вы его понимаете, это ваш рабочий стол. Физические объекты - иконки на нем. *Физические объекты, такие, как стол или стул, - это решение проблемы представления данных (solution to a data representation problem), компактный формат, который позволяет нам достаточно информации для выживания, но не слишком много, чтобы не перегрузить. И физические объекты - решение проблемы по оптимизации. И не имеют ничего общего с истиной.

Пространство

• Итак, пространство, что это? Это наш рабочий стол. Но почему оно представляется нам трехмерным? Я полагаю, что это - корректирующий код (код, исправляющий ошибки). Мы выяснили, что приспособляемость - наше все. Информации, связанной с приспособляемостью, очень много, поэтому нам нужны две вещи: «сжать» данные и исправить ошибки. Последнее - для того, чтобы эта информация была верной, в противном случае вы делаете неверный выбор и можете погибнуть. Так как информации слишком много, вы ищите и собираете некоторые кусочки, а затем кодируете. Идея в том, что пространство, как мы его воспринимаем, - это не объективное трехмерное пространство, существующее независимо от нас. Мы живем в структуре данных. Предположим, я хочу послать вам бит информации. Это может быть 0 или 1.
• Но возможны искажение, помехи. Есть простейший код - код Хэмминга: вместо того, чтобы посылать вам один ноль или одну единицу, я посылаю их трижды. Так что, если вы получаете 111, то очевидно, что я послал вам единицу. Если 000 - то ноль. Но возможны помехи, поэтому получив, например 011, вы скорректируете ошибку, поняв, что я послал вам единицу. И т.д. На примере этого куба я хотел показать, что я сделал: взял один бит (0 или 1) и придал ему трехмерность. И поэтому я полагаю, что наше восприятие пространственно. Пространство - просто формат нашего корректирующего кода.*

Вывод

Что-то существует, когда мы не смотрим, но это не время и пространство, и не физические объекты. Нам трудно от них отказаться. Так же трудно, как тем жукам - от бутылки. Почему? Потому что мы слепы к своей слепоте. Но у нас есть преимущество перед жуками: наука и технологии. Наблюдения при помощи телескопа показали нам, что Земля - не центр Вселенной. Наблюдения при помощи теории эволюции показывают нам, что пространство, время и физические объекты не являются природой реальности. Мой опыт восприятия, полученный мной при разглядывании красного помидора - это мое взаимодействие с реальностью. Но эта реальность - не красный помидор, и вообще ничего общего с красным помидором не имеет.

*Мы предлагаем математическую теорию сознания как природы реальности. Так что это не «цифровой дождь», а другие агенты сознания. Я назвал это сознательным реализмом: объективная реальность - лишь агенты сознания, лишь точка зрения.*

Аналогичным образом, когда я воспринимаю льва или кусок мяса - я взаимодействую с реальностью. Но эта реальность - не лев и не кусок мяса. Фишка в том, что когда я описываю свое восприятие мозга или нейронов, я взаимодействую с реальностью. Но эта реальность - не мозг и не нейроны. Она ни капли на них не похожа. Фактическая реальность, какой бы она ни была, истинный источник причин и следствий в мире - не мозг и не нейроны. Мозг и нейроны - набор специфичных для нашего вида символов, уловка.

Как это может помочь в разрешении тайны сознания? Оно открывает новые возможности. Возможно, реальность - некая огромная интерактивная сеть агентов сознания, простых и сложных, являющихся причиной сознательного опыта (переживания сознания) друг друга. Как только мы избавимся от интуитивного, но неверного предположения относительно природы реальности, нам откроются новые пути размышления о величайшей тайне жизни. Готов поспорить, что в конце концов реальность окажется еще более удивительной, чем мы можем ее представить. Теория эволюции бросает нам беспрецедентный вызов: вызов признать, что восприятие - это не о видении истины. Это о том, чтобы иметь детей.»

«Гефтер: Люди часто используют дарвинизм как аргумент в пользу того, что наши чувства объективно отражают реальность. Они говорят, что «должно быть, мы каким-то образом непосредстсвенно связаны с реальностью, иначе давно были бы отсеяны эволюцией, и если мне кажется, что я вижу пальму, а на самом деле это тигр, быть беде».

Хоффман: Совершенно верно. Это классический аргумент, который заключается в том, что наши предки воспринимали реальность объективнее других и потому имели больше шансов передать свои гены, в которых закодирована способность к такому восприятию, и несколько тысяч поколений спустя мы можем быть абсолютно уверены в том, что являясь потомками тех, кто был способнен к объективному восприятию, умеем так же смотреть на мир. Звучит очень убедительно. Но на мой взгляд, абсолютно неверно. Здесь наблюдается явное непонимание основ теории эволюции, в данном случае - принципа приспосабливаемости, который может быть выражен математической функцией и определяет, насколько эффективны выбранные стратегии выживания и размножения. Физик и математик Четан Пракаш доказал выдвинутую мной теорему, которая предполагает, что в соответствии с теорией эволюции путем естественного отбора организм, воспринимающий реальность такой, какая она есть, не будет лучше приспособлен, чем организм настолько же развитый и не воспринимающий реальность вовсе, но все ресурсы которого направлены на приспосабливаемость. Никогда.

Гефтер: Вы продемонстрировали это, прибегнув к комьютерному моделированию. Можете привести пример?

Хоффман: Предположим, существует некий ресурс, к примеру, вода, и вы можете определить ее количество в объективном порядке - немного воды, среднее количество воды, много воды. Теперь предположим, что приспосабливаемость можно выразить линейной функцией. Получится, что небольшое количество воды немного повысит вашу приспосабливаемость, среднее количество повысит ее сильнее, а большое количество повысит ее намного. В этом случае организм, способный определить, сколько воды он видит, может победить в эволюционной гонке, но только потому, что функция приспосабливаемости соотносится с устройством реальности. На самом же деле в жизни так не бывает. Гораздо точнее этот процесс описывает кривая распределения Гаусса - если у вас мало воды, вы умрете от жажды, если много, то утонете, и только какое-то среднее значение лучше всего подойдет для выживания. Таким образом, функция приспосабливаемости не соответствует устройству мира. И этого достатчно для того, чтобы пожертвовать истиной. Еще один пример. Представьте себе организм, который способен определять оптимальное для выживания количество ресурса и видит его, скажем в зеленом цвете, а слишком малые и слишком большие количества - в красном. В этом случае органы чувств настроены на приспосабливаемость, игнорируя истину. Они не помогут отличить большое от малого, показывая только красный цвет, даже если его нет в реальности.

Гефтер: Но каким образом ложное восприятие ральности может способствовать выживанию?

Хоффман: Есть прекрасная аналогия, которая появилась всего тридцать или сорок лет назад - это интерфейс рабочего стола. Представьте, что в правом нижнем углу рабочего стола есть синяя прямоугольная иконка - означает ли это, что файл сам по себе является синим прямоугольником и живет в правом нижнем углу рабочего стола вашего комьютера? Конечно же нет. Единственное, что можно сказать об объектах на рабочем столе - у них есть цвет, расположение и форма. Вам доступны только эти категории, но ни одна из них не говорит о том, что на самом деле представляет собой файл или что-либо другое в компьютере. Они просто не способны быть истиной. Это очень интересная вещь. Вы не сможете составить верное представление об устройстве компьютера, если ваше восприятие реальности ограничено рабочим столом. И несмотря на это, рабочий стол полезен. Эта синяя прямоугольная иконка определяет мое поведение и скрывает сложную реальность, о которой мне знать не обязательно. Это ключевой момент. Эволюция дала нам органы чувств, которые необходимы для выживания. Они определяют адаптивное поведение. И скрывают от нас все то, о чем нам знать не обязательно. Это, по большей части, и есть вся реальность, какой бы она ни была в действительности. Если вы потратите слишком много времени на выяснение того, что реально, а что нет, тигр вас просто сожрет.

Гефтер: Выходит, что все, что мы видим, - это одна большая иллюзия?

Хоффман: Мы развили органы чувств, которые позволили нам выжить, поэтому им следует доверять. Если я увижу что-то, напоминающее змею, то вряд ли буду брать это в руки. Если я увижу поезд, то не пойду ему навстречу. Эволюция выработала условные обозначения, благодаря которым я все еще жив, и я собираюсь воспринимать их всерьез и руководствоваться ими. Однако с точки зрения логики неверно было бы считать, что воспринимать всерьез - это то же самое, что воспринимать буквально.

Гефтер: Если змеи это не змеи, а поезда не поезда, тогда что же они на самом деле?

Хоффман: Поезда и змеи как физические объекты не имеют объективных, независимых от наблюдателя свойств. Змея, которую я вижу, это представление, созданное моей системой восприятия, чтобы сообщить мне, как последствия моих поступков повлияют на приспосабливаемость. Эволюция выработала неоптимальные, но приемлемые решения. Представление в виде змеи - это приемлемое решение вопроса о том, как мне действовать в данной ситуации. Мои поезда и змеи - это мои мысленные представления, ваши поезда и змеи - ваши мысленные представления.

Гефтер: Как вы впервые этим заинтересовались?

Хоффман: Когда я был подростком, меня очень интересовал следующий вопрос: «Являемся ли мы механизмами?» Мое представление о науке говорило, что да, являемся. Но мой отец был священником, и в церкви все говорили, что это не так. Так что я решил, что мне нужно все выяснить самостоятельно. Это ведь важный личный вопрос - если я механизм, я хочу об этом знать! А если и нет, я бы хотел узнать, что за особая магия кроется в них. В конце концов в 80-х годах прошлого века меня приняли в лабораторию искусственного интеллекта в Массачусетском технологическом институте, где я работал в области компьютерного восприятия. Область наглядных исследований наслаждалась новообретенным успехом в разработке математических моделей для конкретных зрительных возможностей. Я обратил внимание на то, что у них была общая математическая структура, так что я подумал, что можно записать формальную структуру для наблюдений, которые охватывали бы все эти модели, быть может даже все возможные режимы наблюдений. В какой-то мере меня вдохновлял Алан Тьюринг. Когда он изобрел машину Тьюринга, он пытался придумать само понятие вычисления, но вместо того, чтобы забивать ее излишествами, он сказал: «Давайте выведем самое простое, самое короткое математическое описание, которое может сработать». И этот простой формализм есть основа науки вычислений. Так что я задумался, могу ли обеспечить таким же простым формальным основанием науку наблюдений.

Гефтер: Математическая модель осознания.

Хоффман: Именно. Мое чутье сказало мне, что существует сознательный опыт. Я испытываю боль, чувствую вкусы и запахи, все мои сенсорные ощущения, настроения, эмоции и так далее. Так что я просто хочу сказать: первая часть этой осознанной структуры - это набор всех возможных впечатлений. Когда я получаю впечатление, на его основе я могу захотеть изменить свое поведение. Так что мне нужен набор возможных действий, которые я могу совершить, и стратегия принятия решений, которая, учитывая мой опыт, позволяет мне менять свое поведение. Это основная идея. У меня есть шкала впечатлений X, шкала действий G и алгоритм D, который позволяет мне выбирать новое действие с учетом опыта. Я установил W для мира, который также соответствует шкале вероятности. Так или иначе, мир влияет на мое восприятие, поэтому есть карта восприятий P, и когда я действую, я изменяю мир, поэтому есть карта A от шкалы действий в мире. Это и есть вся структура. Шесть элементов. Структура сознания. Я выставил ее в открытый доступ, чтобы люди знали, что делать.

Гефтер: Но если существует W, получается, вы заявляете о том, что существует внешний мир?

Хоффман: Вот, что поразительно: я могу убрать W из структуры и оставить агента сознания на своем месте, получая таким образом цепь сознательных агентов. На самом деле это могут быть целые сети произвольной сложности. Это и есть мир.

Гефтер: Мир - это всего лишь другие агенты сознания?

Хоффман: Я назвал это сознательным реализмом: объективная реальность - лишь агенты сознания, лишь точка зрения. Интересно то, что я могу взять двоих агентов и заставить их взаимодействовать, и математическая структура этого взаимодействия удовлетворяет определению агента сознания. Такого рода математика о чем-то говорит. Я могу взять два разума, чтобы они сгенерировали новый, единый разум. Вот вам конкретный пример: в нашем мозге два полушария. Но когда вы проводите операцию по разделению этих полушарий, полностью разрезая мозолистое тело, вы получаете убедительные доказательства двух отдельных сознаний. До проведения разрезки был, казалось бы, единый разум. Так что присутствие одного агента сознания неправдоподобно. И тем не менее, перед вашими глазами случай, когда присутствуют два отдельных агента, и вы можете видеть это, когда они разделены. Я не ожидал, что математика заставит мен это признать. Я могу взять отдельных наблюдателей, соединить их и создать новых наблюдателей, и так до бесконечности. И новые агенты сознания создаются все время.

Гефтер: Если агенты, все точки зрения от первого лица, создаются все время, что происходит с наукой? Наука всегда была описанием мира от третьего лица.

Хоффман: Идея о том, что все, что мы делаем, есть измерение общедоступных объектов, идея о том, что объективность исходит из факта, что вы и я можем измерить один и тот же объект в той же ситуации и получить один и тот же результат - для квантовой механики очевидно, что у этой идеи есть смысл. Физики твердят, что не существует никаких общедоступных физических объектов. Что тогда происходит? Вот, как я вижу ситуацию. Я могу рассказывать вам, что у меня болит голова, и полагать, что я эффективно взаимодействую с вами, ведь у вас тоже были головные боли. То же самое можно применить к яблокам, к Луне, к Солнцу, ко всей Вселенной. Точно так же, как у вас своя собственная головная боль, у вас и своя собственная Луна. Но я могу предположить, что она весьма похожа на мою. Это предположение может быть ложным, но это источник моего взаимодействия, и это лучшее, что мы можем сделать с точки зрения физических объектов и всей объективной науки.

Гефтер: Не похоже, чтобы множество нейробиологов или философов размышляли о фундаментальной физике. Считаете ли вы, что это было камнем преткновения для тех, кто пытается понять сознание?

Хоффман: Думаю, да. Они не только игнорируют прогресс в области фундаментальной физики, но и часто недвусмысленно выражают своё мнение. Они открыто скажут, что квантовая физика не имеет отношения к аспектам мозговой активности, находящимся в причинно-следственной связи с сознанием. Они уверены в том, что это наверняка типичные свойства нервной деятельности, существующие независимо от каких-либо наблюдателей - скачущий пульс, сила связей между синапсами, а также, возможно, ещё и динамические свойства. Все эти концепции очень типичны для ньютоновской физики, в рамках которой время, как и объекты, абсолютно. И потом [нейробиологи] ума не приложат, почему они не добиваются прогресса. Они не пользуются невероятными озарениями и прорывами, которые совершаются в физике. Эти озарения только и ждут, чтобы мы их использовали, и тем не менее, мои коллеги говорят «Спасибо, но мы продолжим придерживаться Ньютона. Останемся на 300 лет позади в нашем понимании физики».

Гефтер: Я подозреваю, что так они реагируют на вещи, вроде модели Роджера Пенроуза и Стюарта Хамероффа, согласно которой у человека по-прежнему остаётся физический мозг, он по-прежнему находится в пространстве, однако он, предположительно, вытворяет какой-то квантовый трюк. А вы, напротив, говорите: «Послушайте, квантовая механика гласит, что мы обязаны поставить под сомнение само понятие „физических объектов“, находящихся в „пространстве“».

Хоффман: Думаю, это абсолютно верно. Нейробиологи постоянно говорят: «Нам не нужно применять подобные виды квантовых процессов, нам не нужно, чтобы квантовые волновые функции разрушались внутри нейронов, мы можем просто использовать классическую физику, чтобы описать внутримозговые процессы». Я особо подчеркиваю более важный урок квантовой механики: нейроны, мозг, пространство… Это лишь символы, которыми мы пользуемся, они не реальны. Дело не в том, что существует некий классический мозг, который творит какую-то квантовую магию. Дело в том, что мозга не существует! Квантовая механика заявляет, что обычные объекты - включая мозг - не существуют. Так что это намного более радикальное утверждение о природе реальности, и оно не включает в себя мозг, производящий какие-то сложные квантовые вычисления. Так что даже Пенроуз в своей модели не зашёл достаточно далеко. Однако большинство из нас, ну, вы знаете, мы рождены реалистами. Мы рождены сторонниками физикализма. И от этого очень, очень тяжело избавиться.

Гефтер: Возвращаясь к вопросу, который вы задали себе в подростковом возрасте: Мы машины?

Хоффман: Разрабатываемая мной формальная теория сознательных агентов универсальна в плане объема расчетов - и в этом отношении она является теорией машин. И именно поскольку теория универсальна в плане расчетов, я могу убрать из нее всю когнитивистику и нейронные связи. Однако на данный момент я не думаю, что мы машины - отчасти потому что я провожу различие между математическим представлением и тем предметом, о котором формируется представление. Как сознательный реалист, я постулирую сознательные переживания онтологическими примитивами, основополагающими элементами мира. Я утверждаю, что переживания - это настоящая ценность. Ежедневные переживания - моя настоящая головная боль, настоящий вкус съеденного мной шоколада - вот, что составляет первозданную природу реальности.»

Формула полной вероятности и формулы Байеса

На данном уроке мы рассмотрим важное следствие теорем сложения и умножения вероятностей и научимся решать типовые задачи по теме. Читателям, которые ознакомились со статьёй о зависимых событиях , будет проще, поскольку в ней мы уже по факту начали использовать формулу полной вероятности. Если Вы зашли с поисковика и/или неважно разбирайтесь в теории вероятностей (ссылка на 1-й урок курса) , то сначала рекомендую посетить указанные страницы.

Собственно, продолжаем. Рассмотрим зависимое событие , которое может произойти лишь в результате осуществления одной из несовместных гипотез , которые образуют полную группу . Пусть известны их вероятности и соответствующие условные вероятности . Тогда вероятность наступления события равна:

Эта формула получила название формулы полной вероятности . В учебниках она формулируется теоремой, доказательство которой элементарно: согласно алгебре событий , (произошло событие и или произошло событие и после него наступило событие или произошло событие и после него наступило событие или …. или произошло событие и после него наступило событие ) . Поскольку гипотезы несовместны, а событие - зависимо, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий (первый шаг) и теореме умножения вероятностей зависимых событий (второй шаг) :

Наверное, многие предчувствуют содержание первого примера =)

Куда ни плюнь - везде урна:

Задача 1

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 7 черных шаров, во второй - только белые и в третьей - только черные шары. Наудачу выбирается одна урна и из неё наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?

Решение : рассмотрим событие - из наугад выбранной урны будет извлечён чёрный шар. Данное событие может произойти в результате осуществления одной из следующих гипотез:
- будет выбрана 1-ая урна;
- будет выбрана 2-ая урна;
- будет выбрана 3-я урна.

Так как урна выбирается наугад, то выбор любой из трёх урн равновозможен , следовательно:

Обратите внимание, что перечисленные гипотезы образуют полную группу событий , то есть по условию чёрный шар может появиться только из этих урн, а например, не прилететь с бильярдного стола. Проведём простую промежуточную проверку:
, ОК, едем дальше:

В первой урне 4 белых + 7 черных = 11 шаров, по классическому определению :
- вероятность извлечения чёрного шара при условии , что будет выбрана 1-ая урна.

Во второй урне только белые шары, поэтому в случае её выбора появления чёрного шара становится невозможным : .

И, наконец, в третьей урне одни чёрные шары, а значит, соответствующая условная вероятность извлечения чёрного шара составит (событие достоверно) .

- вероятность того, что из наугад выбранной урны будет извлечен чёрный шар.

Ответ :

Разобранный пример снова наводит на мысль о том, как важно ВНИКАТЬ В УСЛОВИЕ. Возьмём те же задачи с урнами и шарами - при их внешней схожести способы решения могут быть совершенно разными: где-то требуется применить только классическое определение вероятности , где-то события независимы , где-то зависимы , а где-то речь о гипотезах. При этом не существует чёткого формального критерия для выбора пути решения - над ним почти всегда нужно думать. Как повысить свою квалификацию? Решаем, решаем и ещё раз решаем!

Задача 2

В тире имеются 5 различных по точности боя винтовок. Вероятности попада-ния в мишень для данного стрелка соответственно равны и 0,4. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из слу-чайно выбранной винтовки?

Краткое решение и ответ в конце урока.

В большинстве тематических задач гипотезы, конечно же, не равновероятны:

Задача 3

В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение : в этой задаче количество винтовок точно такое же, как и в предыдущей, но вот гипотезы всего две:
- стрелок выберет винтовку с оптическим прицелом;
- стрелок выберет винтовку без оптического прицела.
По классическому определению вероятности : .
Контроль:

Рассмотрим событие: - стрелок поразит мишень из наугад взятой винтовки.
По условию: .

По формуле полной вероятности:

Ответ : 0,85

На практике вполне допустим укороченный способ оформления задачи, который вам тоже хорошо знаком:

Решение : по классическому определению: - вероятности выбора винтовки с оптическим и без оптического прицела соответственно.

По условию, - вероятности попадания в мишень из соответствующих типов винтовок.

По формуле полной вероятности:
- вероятность того, что стрелок поразит мишень из наугад выбранной винтовки.

Ответ : 0,85

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 4

Двигатель работает в трёх режимах: нормальном, форсированном и на холостом ходу. В режиме холостого хода вероятность его выхода из строя равна 0,05, при нормальном режиме работы - 0,1, а при форсированном - 0,7. 70% времени двигатель работает в нормальном режиме, а 20% - в форсированном. Какова вероятность выхода из строя двигателя во время работы?

На всякий случай напомню - чтобы получить значения вероятностей проценты нужно разделить на 100. Будьте очень внимательны! По моим наблюдениям, условия задач на формулу полной вероятности частенько пытаются подзапутать; и я специально подобрал такой пример. Скажу по секрету - сам чуть не запутался =)

Решение в конце урока (оформлено коротким способом)

Задачи на формулы Байеса

Материал тесно связан с содержанием предыдущего параграфа. Пусть событие наступило в результате осуществления одной из гипотез . Как определить вероятность того, что имела место та или иная гипотеза?

При условии , что событие уже произошло , вероятности гипотез переоцениваются по формулам, которые получили фамилию английского священника Томаса Байеса:

- вероятность того, что имела место гипотеза ;
- вероятность того, что имела место гипотеза ;
…
- вероятность того, что имела место гипотеза .

На первый взгляд кажется полной нелепицей - зачем пересчитывать вероятности гипотез, если они и так известны? Но на самом деле разница есть:

Это априорные (оцененные до испытания) вероятности.

Это апостериорные (оцененные после испытания) вероятности тех же гипотез, пересчитанные в связи «со вновь открывшимися обстоятельствами » - с учётом того факта, что событие достоверно произошло .

Рассмотрим это различие на конкретном примере:

Задача 5

На склад поступило 2 партии изделий: первая - 4000 штук, вторая - 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй - 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно: а) из первой партии, б) из второй партии.

Первая часть решения состоит в использовании формулы полной вероятности. Иными словами, вычисления проводятся в предположении, что испытание ещё не произведено и событие «изделие оказалось стандартным» пока не наступило.

Рассмотрим две гипотезы:
- наудачу взятое изделие будет из 1-й партии;
- наудачу взятое изделие будет из 2-й партии.

Всего: 4000 + 6000 = 10000 изделий на складе. По классическому определению :
.

Контроль:

Рассмотрим зависимое событие: - наудачу взятое со склада изделие будет стандартным.

В первой партии 100% - 20% = 80% стандартных изделий, поэтому: при условии , что оно принадлежит 1-й партии.

Аналогично, во второй партии 100% - 10% = 90% стандартных изделий и - вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным при условии , что оно принадлежит 2-й партии.

По формуле полной вероятности:
- вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным.

Часть вторая. Пусть наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Эта фраза прямо прописана в условии, и она констатирует тот факт, что событие произошло .

По формулам Байеса:

а) - вероятность того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 1-ой партии;

б) - вероятность того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 2-ой партии.

После переоценки гипотезы , разумеется, по-прежнему образуют полную группу :
(проверка;-))

Ответ :

Понять смысл переоценки гипотез нам поможет Иван Васильевич, которой снова сменил профессию и стал директором завода. Он знает, что сегодня 1-й цех отгрузил на склад 4000, а 2-й цех - 6000 изделий, и приходит удостовериться в этом. Предположим, вся продукция однотипна и находится в одном контейнере. Естественно, Иван Васильевич предварительно подсчитал, что изделие, которое он сейчас извлечёт для проверки, с вероятностью будет выпущено 1-м цехом и с вероятностью - вторым. Но после того как выбранное изделие оказывается стандартным, он восклицает: «Какой же классный болт! - его скорее выпустил 2-й цех». Таким образом, вероятность второй гипотезы переоценивается в лучшую сторону , а вероятность первой гипотезы занижается: . И эта переоценка небезосновательна - ведь 2-й цех произвёл не только больше изделий, но и работает в 2 раза лучше!

Вы скажете, чистый субъективизм? Отчасти - да, более того, сам Байес интерпретировалапостериорные вероятности как уровень доверия . Однако не всё так просто - в байесовском подходе есть и объективное зерно. Ведь вероятности того, что изделие будет стандартным (0,8 и 0,9 для 1-го и 2-го цехов соответственно) это предварительные (априорные) и средние оценки. Но, выражаясь философски - всё течёт, всё меняется, и вероятности в том числе. Вполне возможно, что на момент исследования более успешный 2-й цех повысил процент выпуска стандартных изделий (и/или 1-й цех снизил) , и если проверить бОльшее количество либо все 10 тысяч изделий на складе, то переоцененные значения окажутся гораздо ближе к истине.

Кстати, если Иван Васильевич извлечёт нестандартную деталь, то наоборот - он будет больше «подозревать» 1-й цех и меньше - второй. Предлагаю убедиться в этом самостоятельно:

Задача 6

На склад поступило 2 партии изделий: первая - 4000 штук, вторая - 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии 20%, во второй - 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось не стандартным. Найти вероятность того, что оно: а) из первой партии, б) из второй партии.

Условие отличатся двумя буквами, которые я выделил жирным шрифтом. Задачу можно решить с «чистого листа», или воспользоваться результатами предыдущих вычислений. В образце я провёл полное решение, но чтобы не возникло формальной накладки с Задачей №5, событие «наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным» обозначено через .

Байесовская схема переоценки вероятностей встречается повсеместно, причём её активно эксплуатируют и различного рода мошенники. Рассмотрим ставшее нарицательным АО на три буквы, которое привлекает вклады населения, якобы куда-то их инвестирует, исправно выплачивает дивиденды и т.д. Что происходит? Проходит день за днём, месяц за месяцем и всё новые и новые факты, донесённые путём рекламы и «сарафанным радио», только повышают уровень доверия к финансовой пирамиде (апостериорная байесовская переоценка в связи с произошедшими событиями!) . То есть, в глазах вкладчиков происходит постоянное увеличение вероятности того, что «это серьёзная контора» ; при этом вероятность противоположной гипотезы («это очередные кидалы») , само собой, уменьшается и уменьшается. Дальнейшее, думаю, понятно. Примечательно, что заработанная репутация даёт организаторам время успешно скрыться от Ивана Васильевича, который остался не только без партии болтов, но и без штанов.

К не менее любопытным примерам мы вернёмся чуть позже, а пока на очереди, пожалуй, самый распространенный случай с тремя гипотезами:

Задача 7

Электролампы изготавливаются на трех заводах. 1-ый завод производит 30% общего количества ламп, 2-й - 55%, а 3-й - остальную часть. Продукция 1-го завода содержит 1% бракованных ламп, 2-го - 1,5%, 3-го - 2%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Купленная лампа оказалась с браком. Какова вероятность того, что она произведена 2-м заводом?

Заметьте, что в задачах на формулы Байеса в условии обязательно фигурирует некоепроизошедшее событие, в данном случае - покупка лампы.

Событий прибавилось, и решение удобнее оформить в «быстром» стиле.

Алгоритм точно такой же: на первом шаге находим вероятность того, что купленная лампа вообще окажется бракованной.

Пользуясь исходными данными, переводим проценты в вероятности:
- вероятности того, что лампа произведена 1-м, 2-м и 3-м заводами соответственно.
Контроль:

Аналогично: - вероятности изготовления бракованной лампы для соответствующих заводов.

По формуле полной вероятности:

- вероятность того, что купленная лампа окажется с браком.

Шаг второй. Пусть купленная лампа оказалась бракованной (событие произошло)

По формуле Байеса:
- вероятность того, что купленная бракованная лампа изготовлена вторым заводом

Ответ :

Почему изначальная вероятность 2-й гипотезы после переоценки увеличилась ? Ведь второй завод производит средние по качеству лампы (первый - лучше, третий - хуже). Так почему же возросла апостериорная вероятность, что бракованная лампа именно со 2-го завода? Это объясняется уже не «репутацией», а размером. Так как завод №2 выпустил самое большое количество ламп (более половины), то логичен, по меньшей мере, субъективный характер завышенной оценки («скорее всего, эта бракованная лампа именно оттуда») .

Интересно заметить, что вероятности 1-й и 3-й гипотез, переоценились в ожидаемых направлениях и сравнялись:

Контроль: , что и требовалось проверить.

К слову, о заниженных и завышенных оценках:

Задача 8

В студенческой группе 3 человека имеют высокий уровень подготовки, 19 человек - средний и 3 - низкий. Вероятности успешной сдачи экзамена для данных студентов соответственно равны: 0,95; 0,7 и 0,4. Известно, что некоторый студент сдал экзамен. Какова вероятность того, что:

а) он был подготовлен очень хорошо;
б) был подготовлен средне;
в) был подготовлен плохо.

Проведите вычисления и проанализируйте результаты переоценки гипотез.

Задача приближена к реальности и особенно правдоподобна для группы студентов-заочников, где преподаватель практически не знает способностей того или иного студента. При этом результат может послужить причиной довольно-таки неожиданных последствий(особенно это касается экзаменов в 1-м семестре) . Если плохо подготовленному студенту посчастливилось с билетом, то преподаватель с большой вероятностью сочтёт его хорошо успевающим или даже сильным студентом, что принесёт неплохие дивиденды в будущем (естественно, нужно «поднимать планку» и поддерживать свой имидж) . Если же студент 7 дней и 7 ночей учил, зубрил, повторял, но ему просто не повезло, то дальнейшие события могут развиваться в самом скверном ключе - с многочисленными пересдачами и балансировкой на грани вылета.

Что и говорить, репутация - это важнейший капитал, не случайно многие корпорации носят имена-фамилии своих отцов-основателей, которые руководили делом 100-200 лет назад и прославились своей безупречной репутацией.

Да, байесовский подход в известной степени субъективен, но… так устроена жизнь!

Закрепим материал заключительным индустриальным примером, в котором я расскажу о до сих пор не встречавшихся технических тонкостях решения:

Задача 9

Три цеха завода производят однотипные детали, которые поступают на сборку в общий контейнер. Известно, что первый цех производит в 2 раза больше деталей, чем второй цех, и в 4 раза больше третьего цеха. В первом цехе брак составляет 12%, во втором - 8%, в третьем - 4%. Для контроля из контейнера берется одна деталь. Какова вероятность того, что она окажется бракованной? Какова вероятность того, что извлечённую бракованную деталь выпустил 3-й цех?

Таки Иван Васильевич снова на коне =) Должен же быть у фильма счастливый конец =)

Решение : в отличие от Задач №№5-8 здесь в явном виде задан вопрос, который разрешается с помощью формулы полной вероятности. Но с другой стороны, условие немного «зашифровано», и разгадать этот ребус нам поможет школьный навык составлять простейшие уравнения. За «икс» удобно принять наименьшее значение:

Пусть - доля деталей, выпускаемая третьим цехом.

По условию, первый цех производит в 4 раза больше третьего цеха, поэтому доля 1-го цеха составляет .

Кроме того, первый цех производит изделий в 2 раза больше, чем второй цех, а значит, доля последнего: .

Составим и решим уравнение:

Таким образом: - вероятности того, что извлечённая из контейнера деталь выпущена 1-м, 2-м и 3-м цехами соответственно.

Контроль: . Кроме того, будет не лишним ещё раз посмотреть на фразу«Известно, что первый цех производит изделий в 2 раза больше второго цеха и в 4 раза больше третьего цеха» и убедиться, что полученные значения вероятностей действительно соответствуют этому условию.

За «икс» изначально можно было принять долю 1-го либо долю 2-го цеха - вероятности выйдёт такими же. Но, так или иначе, самый трудный участок пройден, и решение входит в накатанную колею:

Из условия находим:
- вероятности изготовления бракованной детали для соответствующих цехов.

По формуле полной вероятности:
- вероятность того, что наугад извлеченная из контейнера деталь окажется нестандартной.

Вопрос второй: какова вероятность того, что извлечённую бракованную деталь выпустил 3-й цех? Данный вопрос предполагает, что деталь уже извлечена, и она оказалось бракованной. Переоцениваем гипотезу по формуле Байеса:
- искомая вероятность. Совершенно ожидаемо - ведь третий цех производит не только самую малую долю деталей, но и лидирует по качеству!

Пусть в результате испытания могут появиться п событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны.

Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1, А 2 , А п, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением, вероятностей противоположных событий A 1 А 2 , А п:

Р(А) = 1 - q 1 , q n

Частный случай. Если события A 1 А 2 , А„ имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Р (Л) = 1 — q п (**)

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р 1 = 0,8; р 2 = 0,7;

р 3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A 1 (попадание первого орудия), А 2 (попадание второго орудия) и А 3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А 1 А 2 и А 3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

q 1 = 1 - p 1 = 1-0,8 = 0,2; q 2 = 1 - p 2 == 1-0,7 = 0,3; , q 3 = 1 - p 3 = 1-0,9 = 0,1.

Искомая вероятность

Р (А) = 1 — q 1 q 2 q 3 = 1 —0,2 * 0,3 * 0,1 = 0,994.

Пример 2. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: p + q = 1

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна q = 1-p = 1—0,9 = 0,1.

Искомая вероятность

Р (A) = 1 — q 4 = 1 — 0,1 4 = 0,9999.

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример 3. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Решение. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (**)

По условию, Р (А) = 0,936; п = 3. Следовательно,

0,936=1 — q 3 или q 3 = 1-0,936 = 0,064.

Отсюда q = = 0,4.

Искомая вероятность р = 1 — q = 1 — 0,4 = 0,6.

Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

• достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
• невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
• случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

• Равновозможными.
• Совместимыми.
• Несовместимыми.
• Противоположными (взаимоисключающими).
• Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

• Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
• Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
• Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
• Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
• Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
• Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
• Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

• A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
• B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
• C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

1. Бубновая.
2. Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.

Пример 1. Из колоды в 32 карты вынуто последовательно без возвращения 2 карты. Найти вероятность того, что обе они - тузы.

Решение. Так как первую карту можно извлечь из колоды 32 способами, а вторую - 31 (поскольку в колоде осталась 31 карта), то число возможных исходов опыта . Определим число благоприятных исходов. Первый туз можно выбрать из четырех, имеющихся в колоде, второй - из трех оставшихся. Значит, число благоприятных исходов и искомая вероятность равна

Пример 2. Из коробки, в которой лежат пять пирожных «эклер» и семь - «наполеон», достали пять пирожных. Найти вероятность того, что среди них два «эклера» и три «наполеона».

Решение. Количество возможных исходов опыта представляет собой число сочетаний из 12 по 5:

Число благоприятных исходов является произведением количества способов, которыми можно выбрать два «эклера» из пяти имеющихся, и числа наборов по три «наполеона» из семи:

Следовательно, искомая вероятность равна

Пример 3. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.

Решение. В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга: а мерой множества благоприятных исходов - разность площадей круга и треугольника: . Следовательно, вероятность заданного события равна

Пример 4. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания равны соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятности следующих событий:

Оба попали в цель;

В цель попал хотя бы один.

Решение. Назовем событиями и попадание в мишень соответственно первого и второго стрелка и отметим, что и являются событиями совместными, но независимыми (иными словами, в мишень могут попасть оба стрелка, а вероятность попадания каждого не зависит от результата другого). Событие представляет собой произведение событий и поэтому

Событие является суммой и для определения его вероятности воспользуемся общим видом теоремы сложения:

Пример 5. В трех одинаковых урнах лежат шары: в первой - 5 белых и 3 черных, во второй - 2 белых и 6 черных, в третьей - 3 белых и 1 черный. Из случайно выбранной урны вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Условная вероятность события , то есть извлечения белого шара из урны, определяется по классическому определению вероятности (количеством благоприятных исходов при этом является число белых шаров, а числом возможных исходов - общее число шаров в урне). Поэтому

Используя формулу полной вероятности, получаем:

Пример 6. В студенческой группе 20 студентов. Из них 5 отличников, которые знают все экзаменационные вопросы, 8 студентов знают ответы на 70 % вопросов и 7 - на 50 %. Первый вызванный студент ответил на первый вопрос экзаменационного билета. Найти вероятность того, что он отличник.