Теория функций одной переменной. Математический анализ
Пусть переменная величина x n принимает бесконечную последовательность значений
x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)
причем известен закон изменения переменной x n , т.е. для каждого натурального числа n можно указать соответствующее значение x n . Таким образом предполагается, что переменная x n является функцией от n :
x n = f(n)
Определим одно из важнейших понятий математического анализа - предел последовательности, или, что то же самое, предел переменной величины x n , пробегающей последовательность x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .
Определение. Постоянное число a называется пределом последовательности x 1 , x 2 , ..., x n , ... . или пределом переменной x n , если для сколь угодно малого положительного числа e найдется такое натуральное число N (т.е номер N ), что все значения переменной x n , начиная с x N , отличаются от a по абсолютной величине меньше, чем на e. Данное определение кратко записывается так:
| x n - a |< (2)
при всех n N , или, что то же самое,
Определение предела по Коши . Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Определение предела по Гейне . Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.
Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.
Число A 1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ >
Число A 2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство
Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: и . Так, для функции
Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:
Так, функция имеет в точке x = 0 бесконечный предел Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,
Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Теорема о существовании точной верхней грани
Определение: АR mR, m - верхняя (нижняя) грань А, если аА аm (аm).
Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что аА, выполняется аm (аm).
Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A
2) m’:
m’
InfA = n, если 1) n - нижняя грань A
2) n’: n’>n => n’ не нижняя грань A
Определение : SupA=m называется число, такое что: 1) aA am
2) >0 a A, такое, что a a-
InfA = nназывается число, такое что: 1) 1) aA an
2) >0 a A, такое, что a E a+
Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.
Доказательство:
Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.
[m]=max{[a]:aA} [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхняя грань A
Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей
m 1 =max:aA}]
m 2 =max,m 1:aA}]
m к =max,m 1 ...m K-1:aA}]
[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/10 K - верхняя грань A
Докажем, что m=[m],m 1 ...m K - точная верхняя грань и что она единственная:
к: .
Рис. 11. График функции y arcsin x .
Введем теперь понятие сложной функции (композиции отображений ). Пусть даны три множества D, E, M и пусть f: D→E, g: E→M. Очевидно, можно построить новое отображение h: D→M, называемое композицией отображений f и g или сложной функцией (рис. 12).
Сложная функция обозначается следующим образом: z =h(x)=g(f(x)) или h = f o g.
Рис. 12. Иллюстрация к понятию сложной функции.
Функция f (x ) при этом называется внутренней функцией , а функция g (y )- внешней функцией .
1. Внутренняя функция f(x)= x², внешняя g (y ) sin y. Сложная функция z= g(f(x))=sin(x²)
2 . Теперь наоборот. Внутренняя функция f (x )= sinx , внешняя g (y ) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)